無無的雑感

対数関数について

$z$ を $0$ でない複素数とするとき，

$z = \exp{w}$

を満たす複素数 $w$ を $z$ の対数と呼びますね．では

$\log{z}$

とは何でしょうか．例えば $\log{(-1)}$ を，多くの？本や講義では

$\log{(-1)} := i (1 + 2 n) \pi, \quad (n \in \mathbf{Z})$

などとわけわからん定義をしています．（いや僕が読み間違えているだけかもしれませんが，そのような場合は「お前はここを誤解している」とコメントで教えてください．）

しかし，このような不定形では数学の対象になり得ないでしょう！しかも上の定義だと等号の乱用を招いてしまいます．

$i \pi = \log{(-1)} = i 3 \pi$

な訳がありません．まあ $\mod{2 \pi i}$ なら正しいというわけですが，非常に気持ちが悪い．僕は $\log{z}$ を

$\{\, w \in \mathbf{C}\, |\quad z = \exp{w}\, \}$

とするのがベターだと考えています．正式に現代的な（集合論的な）流儀で書き直すと

$\log := \{\, x\, |\quad \exists z \in \mathbf{C}\, \exists y\, \left(\, x=(z,y) \wedge \forall t\, (\, t \in y \Longleftrightarrow t \in \mathbf{C} \wedge z = \exp{t}\, )\, \right)\, \}$

により $\log$ を定めることになりますが，この $\log$ は $\mathbf{C}$ 上の写像でありますし，値の意味も明確ですね．

この形式の定義はあまり見かけない，というか，僕の思考史においては僕オリジナルの定義なのですが，別にプロから怒られるような勝手な定義ではないことを，ブルバキのメンバーHenri Cartanが著書「複素関数論」を盾に弁解しておきましょう．

Cartanの説明を大雑把に書きましょう．いま

$U := \{\, z \in \mathbf{C}\, |\quad |z| = 1\, \}$

とおきます．そして $\varphi$ を

$\mathbf{R} \ni y \longmapsto e^{i y}$

なる写像とすると， $\varphi$ は群 $(\mathbf{R},+)$ から群 $(U,\cdot)$ への準同型であり，その核は

$\{\, 2 n \pi\, |\quad n \in \mathbf{Z}\, \}$

に一致します．ちなみに $\varphi$ は全射であり，これらの証明は

amateurmath.hatenablog.com

のノートの周期性の節に載せてあります．その核を

$2\pi \mathbf{Z}$

と書くと，代数学の同型定理により商 $\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$ から $U$ への全単射（これを $\psi$ とおく）が得られます． $z$ を $0$ でない複素数とするとき， $z$ の偏角を

$\arg{z} := \psi^{-1}(z/|z|)$

により定めます．すなわち，

$\varphi(y) = \frac{z}{|z|}$

を満たす実数 $y$ を取れば

$\arg{z} = \{\, x \in \mathbf{R}\, |\quad \exists n \in \mathbf{Z}\, (\, x - y = 2n\pi\, )\, \}$

が成り立つわけです．つまりCartanは $\arg{z}$ を数の集合として定めているのですね．Cartanは $\log{z}$ を

$\log{|z|} + i \arg{z}$

により定めていて，この部分は僕にとっては釈然としないのですが意味としては

$\{\, w \in \mathbf{C}\, |\quad z = \exp{w}\, \}$

で定めることと同じです．

ちなみにどうでもいいことですが，僕の $\log$ の定義だと

$\log{0} = \emptyset = 0$

になるんです．